Sabtu, 25 September 2010

Balok

Balok.JPG

Balok adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk oleh tiga pasang persegi atau persegi panjang, dengan paling tidak satu pasang diantaranya berukuran berbeda. Balok memiliki 6 sisi, 12 rusuk dan 8 titik sudut. Balok yang dibentuk oleh enam persegi sama dan sebangun disebut sebagai kubus.



Daftar isi

  • 1 Elemen balok
  • 2 Rumus balok
    • 2.1 Luas permukaan
    • 2.2 Volume
    • 2.3 Panjang diagonal ruang
    • 2.4 Panjang diagonal bidang
    • 2.5 Luas bidang diagonal

Elemen balok

  • Panjang (p) adalah rusuk terpanjang dari alas balok.
  • Lebar (l) adalah rusuk terpendek dari sisi alas balok.
  • Tinggi (t) adalah rusuk yang tegak lurus terhadap panjang dan lebar balok.

Rumus balok


Diagonal Ruang b-h dan
Diagonal Bidang bajingan b-g

Bidang Diagonal a-b-g-h

Luas permukaan

L = 2\cdot (p\cdot l + p\cdot t + l\cdot t)

Volume

V = p\cdot l \cdot t

Panjang diagonal ruang

d_R = \sqrt{(p^2+l^2+t^2)}

Panjang diagonal bidang

d_{B1} = \sqrt{(p^2+l^2)}

d_{B2} = \sqrt{(p^2+t^2)}

d_{B3} = \sqrt{(l^2+t^2)}

Luas bidang diagonal

L_{B1} = d_{B1}\cdot t

L_{B2} = d_{B2}\cdot l

L_{B3} = d_{B3}\cdot p


Sumber Wikipedia


Read more »

Jumat, 24 September 2010

Lingkaran


Dalam geometri Euklid, sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar.

Daftar isi

  • 1 Elemen lingkaran
  • 2 Persamaan
    • 2.1 Persamaan parametrik
  • 3 Luas lingkaran
    • 3.1 Penjumlahan elemen juring
    • 3.2 Luas juring
    • 3.3 Luas cincin lingkaran
    • 3.4 Luas potongan cincin lingkaran
  • 4 Keliling lingkaran
    • 4.1 Panjang busur lingkaran
  • 5 Pi atau π



Elemen lingkaran

Elemen-elemen yang terdapat pada lingkaran, yaitu sbb:

  • n sebuah titik di dalam lingkaran yang menjadi acuan untuk menentukan jarak terhadap himpunan titik yang membangun lingkaran sehingga sama. Elemen lngkiaran yang berupa titik, yaitu :
    1. Titik pusat (P)
      merupakan jarak antara titik pusat dengan lingkaran harganya konstan dan disebut jari-jari.
  • Elemen lingkaran yang berupa garisan, yaitu :
    1. Jari-jari (R)
      merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran.
    2. Tali busur (TB)
      merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda (TB).
    3. Busur (B)
      merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit dengan lingkaran.
    4. Keliling lingkaran (K)
      merupakan busur terpanjang pada lingkaran.
    5. Diameter (D)
      merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas.
  • Elemen lingkaran yang berupa luasan, yaitu :
    1. Juring (J)
      merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang berada pada kedua ujungnya.
    2. Tembereng (T)
      merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali busurnya.
    3. Cakram (C)
      merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.

Persamaan

Suatu lingkaran memiliki persamaan

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \!

dengan R\! adalah jari-jari lingkaran dan (x_0,y_0)\! adalah koordinat pusat lingkaran.

Persamaan parametrik

Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu persamaan parameterik, yaitu

x = x_0 + R \cos(t) \!
y = y_0 + R \sin(t) \!

yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam ruang x-y.

Luas lingkaran


Luas lingkaran

Luas lingkaran memiliki rumus

A = \pi R^2 \!

yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran

dA = rd\theta\ dr

dalam koordinat polar, yaitu

\int dA = \int_{r=0}^R \int_{\theta=0}^{2\pi}  rd\theta\ dr = \int_{r=0}^R rdr \int_{\theta=0}^{2\pi} d\theta  = \frac 1 2 (R^2-0^2) \ (2\pi-0) = \pi R^2 \!

Dengan cara yang sama dapat pula dihitung luas setengah lingkaran, seperempat lingkaran, dan bagian-bagian lingkaran. Juga tidak ketinggalan dapat dihitung luas suatu cincin lingkaran dengan jari-jari dalam R_1\! dan jari-jari luar R_2\!.

Penjumlahan elemen juring

Area of a circle.svg

Luas lingkaran dapat dihitung dengan memotong-motongnya sebagai elemen-elemen dari suatu juring untuk kemudian disusun ulang menjadi sebuah persegi panjang yang luasnya dapat dengan mudah dihitung. Dalam gambar r berarti sama dengan R yaitu jari-jari lingkaran.

Luas juring

Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari R dan θ, yaitu;

A(R,\theta) = \frac 1 2 R^2 \theta \!

dengan batasan nilai θ adalah antara 0 dan . Saat θ bernilai , juring yang dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran.

Luas cincin lingkaran

Suatu cincin lingkaran memiliki luas yang bergantung pada jari-jari dalam R_1\! dan jari-jari luar R_2\!, yaitu

A_{cincin} = \pi (R_2^2 - R_1^2) \!

di mana untuk R_1 = 0\! rumus ini kembali menjadi rumus luas lingkaran.

Luas potongan cincin lingkaran

Dengan menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh

A_{potongan\ cincin} = \frac \pi 2 (R_2^2 -  R_1^2) \theta \!

yang merupakan luas sebuah cincin tak utuh.

Keliling lingkaran

Keliling lingkaran memiliki rumus:

L = 2\pi R\!

Panjang busur lingkaran

Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus

L = R \theta \!

yang diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva

dL = \int \sqrt{1 + \left(  \frac{dy}{dx}\right) ^2 } dx \!

di mana digunakan

y = \pm \sqrt{R^2 - x^2} \!

sebagai kurva yang membentuk lingkaran. Tanda \pm mengisyaratkan bahwa terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan bagian bawah. Keduanya identik (ingat definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya dikalikan dua.

Pi atau π

Nilai pi adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu perbandingan dari keliling K dengan diameternya D:

 \pi = \frac K D
Sumber Wikipedia

Read more »

Trapesium (geometri)

Trapesium adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk yang dua diantaranya saling sejajar namun tidak sama panjang.

Trapesium yang rusuk ketiganya tegak lurus terhadap rusuk-rusuk sejajar disebut trapesium siku-siku.








Rumus trapesium

Keliling

K = \sum_{i=1}^4 rusuk_i

K = 4 x rusuk

Luas

L = \frac{JumlahRusukSejajar.tinggi}{2}\,


Sumber Wikipedia


Read more »

Layang-layang


Layang-layang adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing pasangannya sama panjang dan saling membentuk sudut.

Layang-layang dengan keempat rusuk yang sama panjang disebut belah ketupat.



Rumus Layang-layang

Keliling

K = 2\cdot s_1 + 2\cdot s_2

Luas

L= \tfrac{1}{2} \cdot d_1\cdot d_2


Sumber Wikipedia


Read more »

Jajar Genjang

Jajar Genjang atau Jajaran Genjang adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing sama panjang dan sejajar dengan pasangannya, dan memiliki dua pasang sudut bukan siku-siku yang masing-masing sama besar dengan sudut di hadapannya.



Jajar genjang dengan empat rusuk yang sama panjang disebut belah ketupat.

Rumus jajar genjang

Keliling

K = 2\cdot alas + 2\cdot sisi miring

Luas

L = alas \cdot tinggi


Sumber Wikipedia


Read more »

Belah Ketupat

Belah ketupat adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk yang sama panjang, dan memiliki dua pasang sudut bukan siku-siku yang masing-masing sama besar dengan sudut di hadapannya.

Belah ketupat dapat dibangun dari dua buah segitiga sama kaki identik yang simetri pada alas-alasnya.

Rumus belah ketupat

Keliling

K = 4\cdot s

Luas

L = \tfrac{1}{2} \cdot d1 \cdot d2


Sumber WIkipedia


Read more »

Segitiga

Segitiga menurut panjang dan sisinya :
  • Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang. Sebagai akibatnya semua sudutnya juga sama besar, yaitu 60o.
  • Segitiga sama kaki adalah segitiga yang dua dari tiga sisinya sama panjang. Segitiga ini memiliki dua sudut yang sama besar.
  • Segitiga sembarang adalah segitiga yang ketiga sisinya berbeda panjangnya. Besar semua sudutnya juga berbeda.


Segitiga sama sisi Segitiga sama kaki Segitiga sembarang

Menurut besar sudut terbesarnya:

  • Segitiga siku-siku adalah segitiga yang besar sudut terbesarnya sama dengan 90o. Sisi di depan sudut 90o disebut hipotenusa atau sisi miring.
  • Segitiga lancip adalah segitiga yang besar sudut terbesarnya <>o
  • Segitiga tumpul adalah segitiga yang besar sudut terbesarnya > 90o
Segitiga siku-siku Segitiga tumpul Segitiga lancip

Mencari luas dan keliling segitiga

Luas =  \frac{alas.tinggi}{2}\,

Keliling = sisi1 + sisi2 + sisi3\,

Teorema Heron


Teorema Heron biasanya digunakan untuk mencari luas dari suatu segitiga sembarang. a, b dan c adalah ketiga sisi segitiga.

s = \frac{1}{2}  keliling = \frac{a+b+c}{2}\,

Luas = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\,

Segitiga sama sisi


Untuk mencari luas dan keliling segitiga sama sisi yang bersisi a dapat digunakan rumus sebagai berikut:

Luas = \frac{a^2}{4}  \sqrt{3}\,

Keliling = 3.a\,

Dalil Pythagoras


Segitiga siku-siku

Dalil Pythagoras hanya berlaku pada segitiga siku-siku. Pythagora menyatakan bahwa:

c^2  = a^2 + b^2\,

Jika ada tiga buah bilangan a, b dan c yang memenuhi persamaan di atas, maka ketiga bilangan tersebut disebut sebagai Triple Pythagoras. Triple Pythagoras tersebut dapat dibangun menggunakan rumus berikut dengan memasukkan sebuah nilai n dengan n adalah bilangan bulat positif.


Sumber Wikipedia


Read more »